初中學的自由落體速度公式怎么來的？根據加速度推導速度，你不得不知道的積分

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要將加速度積分得到速度，我們可以使用積分的基本原理。加速度是速度隨時間的變化率，因此我們可以通過積分來還原出速度的函數關系。

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假設我們有一個加速度函數 a(t)，我們要求解對應的速度函數 v(t)。

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加速度 a(t) 是速度 v(t) 對時間 t 的導數，表示為 a(t) = dv(t)/dt。

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要將加速度積分得到速度，我們可以對上述方程兩邊進行積分。

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∫ a(t) dt = ∫ (dv(t)/dt) dt

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通過對時間 t 進行積分，右邊的導數和積分互相抵消，我們得到：

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∫ a(t) dt = ∫ dv(t)

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現在我們可以將積分符號從右邊移到左邊，得到：

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∫ a(t) dt = v(t) + C

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其中，C 是積分常數。

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這個結果表明，加速度 a(t) 在時間 t 的積分是速度函數 v(t) 加上一個常數 C。常數 C 的值取決于我們選擇的起始條件。

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如果我們有一個特定的初始速度 v?，可以使用初始條件來確定常數 C 的值。假設在 t = 0 時刻，速度為 v?，則我們可以將這個條件代入上述方程：

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∫[0,t] a(t) dt = v(t) + C

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如果我們假設 t = 0 時刻速度為零（v(0) = 0），那么常數 C 就為零。在這種情況下，方程簡化為：

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∫[0,t] a(t) dt = v(t)

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通過對加速度函數進行積分，我們可以得到速度函數的表達式。

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需要注意的是，以上的推導過程假設加速度函數 a(t) 是已知的。在實際問題中，我們可能需要根據物體的運動特性和所受的力來確定加速度函數，然后再將其積分得到速度函數。

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下面我們將利用上面推導出來的公式來計算自由落體情況下的速度：

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在自由落體運動中，物體受到重力的作用，其加速度恒定為重力加速度g。如果我們知道物體的初始速度為零，可以使用加速度積分來計算物體在不同時間點的速度。

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根據之前推導的公式，速度v(t)的表達式：

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∫[0,t] a(t) dt = v(t) + C

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由于自由落體：加速度是常量g，初始速度是0，我們可以將積分公式簡化為：

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v(t) = ∫[0,t] g dt

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對于常量g的積分，結果將簡單地是gt。因此，我們可以得到：

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v(t) = gt

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這個方程表明，自由落體物體在時間t處的速度等于重力加速度g乘以時間t。這個結果也是物體在自由落體過程中的速度與時間之間的線性關系。

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因此，這個例子展示了加速度積分得到速度的過程，推導出了自由落體時速度公式。